배스확산모델(Bass Diffusion Model)

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배스확산모델이란 말이 있다. 다른 일을 하다가 한창 심심할 즈음 회삿분께서 추천해주신 이론이다. 그전까지 나는 섀넌의 악마를 보고 있었다. 내가 Financial Engineering을 보고 있었다는건 상당히 심심하다는 소리다. FI는 언제나 재밌고, 나는 시드를 넣을 gut이 없다. 그래서 언제나 재밌고, 할 일은 없다. 무튼 다시 돌아오자. 그분은 내가 알고 있는 몇 안되는 진짜배기시고, 나는 진짜들이 가끔 같이 놀아주는 괴짜다.

배스확산모델은 마케팅용어로 많이 사용되는듯 보인다. 우리가 만들어 홍보하려는 자료가 시장에 몇 번 소개됐었고, 그 데이터가 있을 때, 우리의 파급력을 추산할 수 있는 정보라고 (들어서) 알고 있다.

우선 위키피디아 페이지는 다음을 참고: https://en.wikipedia.org/wiki/Bass_diffusion_model.

내용만 보면 캐즘 이론(chasm theory)과 맞물려 작동할 것 같다. 조금만 약을 더 치면 K-마케팅 용어로 적절히 혼용하기 좋은 사례가 될 것 같다(최근 한국에서 유행하는 프래질, 안티 프래질 등등의 용어가 그러하듯). 그러나 아직 이것이 대중적이지 않은 이유는 이것이 약팔러들이 약점을 보이는 수학과 모델링을 토양삼기 때문이리라. 물론 어떤 이론을 설명하는데 수학과 모델링을 이해하고 있다면 약팔러들은 더 이상 약팔러가 되지 않았을 것이다. 이것에 대해선 할 말이 많지만 글로는 남기지 않을 것이다. 오랜만에 글을 써서 논점이 다소 산만한 점 양해를 구한다. 이 블로그는 언제나 영리 블로그였다. 이제는 그것으로써 동작하기엔 너무나 제 할말 뿐이지만 퇴역 군인은 자신이 군인이었단 자부심으로 살아가는 사람들이니 블로그에게도 적당한 예우를 갖춰주셨으면 한다. 물론 예우는 어디까지나 취사선택의 영역이다. 나는 권유할 뿐이다.

왼쪽은 수용자들의 누적함수, 오른쪽은 유입을 분리한 모형이다.

한 블로그 분의 말씀에 의하면 베스 모델은 생존분석과 똑같다고 하는데, 필자는 이런 모델이 있는줄도 몰랐다. 공식 형태도 유사하다.

Bass diffusion model.svg

혁신자들이 바닥에 깔려있고 모방자들이 존재한다. 배스 모델의 장점은 혁신자들의 반응을 보고 전체 분포(F) 모형을 추론 가능하게 만들기 때문일 것이다.

F(t)는 전체 모집단중에 사용을 채택한 사람 비, f(t)는 채택 변화율이라고 한다.

\ F(t_{i})={\frac  {1-e^{{-(p+q)t_{i}}}}{1+{\frac  {q}{p}}e^{{-(p+q)t_{i}}}}}

p는 coefficient of innovation, 신상품 채택에 영향을 주는 상관계수. 광고효과 외부효과에 따라 변화한다. p coefficient는 Innovation, External influence다.

q는 coefficient of imitation, 모방 계수, 입소문에 따라 변화하는 계수. 위키피디아에 따르면 p는 0.03, 자주 0.01이고, q는 0.38로 나타나고 보통 0.3-0.5 사이의 값을 나타낸다고 한다. q coefficient는 Imitators, Internal influence다.

Innovator approximation function.

Imitator approximation function.

\ S(t)=mf(t)
\ S(t)=m{{\frac  {(p+q)^{2}}{p}}}{\frac  {e^{{-(p+q)t}}}{(1+{\frac  {q}{p}}e^{{-(p+q)t}})^{2}}}

S(t)는 t 시점에서 누적 adoption 값이다. 이것은 Innovators f에 마켓 포텐셜 상수 m을 곱해서 완성된다[Bass, Frank (1969). “A new product growth for model consumer durables”. Management Science15 (5): 215–227. doi:10.1287/mnsc.15.5.215. ].

타임 오브 피크 세일즈는 아래와 같다.

\ t^{*}={\frac  {\ln q-\ln p}{p+q}}

p나 q를 찾는 일은 피크 세일즈 t가 든 시점과 S(t)를 통해 이차방정식 추론을 통해서 구할 수 있을 것이다.

즉, 초기 f(t)나 t*를 통해 m, p, q를 추론할 수 있고(m은 스케일 함수이므로), 이 수치를 가지고 f(t)를 완성한 다음, F(t)를 추론할 수 있다. 그리고 이때 F(t)의 형태를 참고로 전체 누적함수 S(t) = 0인 시기 t까지를 추정한다. 그리고 이때 S(t)을 프로모션 초기 기대치 값으로 기대할 수 있다.

응용자료는 여기를 참조. 강의자료는 여기를 참조. 앞 두 개가 명확하지 않다면 여기를 참조. 시뮬레이션은 여기를 참조.

n(t)=adopters via innovation + adopters via imitationn

adopters via innovation = p × remainingpotential =p[M−N(t)]

adopters via imitation = q×proportion of adopters × remaining potential adopters via imitation = q × proportion of adopters × remaining potential = qN(t)/M * [M−N(t)]

결국 F(t)와 f(t)를 경험상 구할 수 있는데, 이를 대상으로 p, q를 구할 수 있고, N(t)를 추정할 수 있다.

데이터를 실제 모델에 피팅하기 위해 이론을 조사한다.

  1. 배스 모델: 상품의 과거 매출 실적을 기초로 하여 한 제품군의 미래 매출을 예측하는 모형.
  2. 특정 브랜드의 매출을 예측하려면 총 시장규모를 배스 모형으로 예측하고 브랜드 점유율을 곱해주는 방식으로 수행

추가로 학습이 진행되어 공식을 추가해본다.

  1. 구매가 이루어질 확률 P(T)는
    1. P(T) = p + q* Y(T)/m
      1. T: 시점, T = 0이면 초기 구매 P(0) = p
      2. p: 혁신 구매자 구매 확률(Initial Buyers)
      3. q: 구매자 구전효과 모방계수
      4. Y(T): 누적 구매자 수
        1. 누적 구매자수 비율에 q를 곱하면 이전 구매자수가 증가하면서 모방자들에게 구매 압력을 작용. 따라서 전체 P(T)가 커진다.
      5. m: 잠재고객 수
  2. 이때 누적 구매 함수 S(T)는
    1. S(T) = P(T) * ( m – Y(T) )
      1. = ( p + q * Y(T) /m) ( m – Y(T) )
      2. = p * ( m – Y(T) ) + q ( Y(T) /m ) ( m – Y(T) )
    2.  T 시점 이전까지 누적 사용자 수

성공적인 신제품의 경우라면 대게 모방계수(q)가 혁신계수(p)보다 클 것이며, 판매곡선은 처음에는 증가하다가 나중에는 떨어진다. 모방계수가 혁신계수보다 작을 때 판매곡선은 계속해서 떨어진다.

추정

우리는 판매 모형으로부터 p, q, m을 추정해야 한다. 배스는 신제품이 소개된 연도부터 재구매가 중요해지기 시작한 연도까지의 판매량 자료를 사용하여 a, b, c를 추정한다.

S(T)=a+bY(T)+cY(T)^2
a= pm
b = q-p
c = \frac{-q}{m}

즉, 세일즈 곡선을 통해 2차식을 얻는다. 보다 정확한 추정은 피크 T’ 시점을 찾는 것으로 가능하다.

T'=\frac{1}{(p+q)}*\log{ \frac {q} {p}}

S(T') = \frac {m(p+q)^2} {4q}

특정 시점 t의 전체 판매량 S(t)는 아래와 같다.

\ S(t)=m{{\frac  {(p+q)^{2}}{p}}}{\frac  {e^{{-(p+q)t}}}{(1+{\frac  {q}{p}}e^{{-(p+q)t}})^{2}}}

피크 T*는 전체 판매량 중에서 가장 가파는 상승을 보장하는 지점이다.

실제로 시뮬레이션 해 본 결과, T*를 가정(꺾인선 시점)하고 확정지었을 때 그 시점 이후부터 누적 판매량을 추산할 수 있는 그래프인듯 보인다.

P.S.: FI 분야에서 나는 언제나 공정가치(Fair value)와 값 매기기(Asset Pricing)에 관심이 있는데, 그 이유는 내가 아직 공부를 시작하지 않은 분야기 때문이다. 재밌을 것 같은데, 아직 시간이 그곳까지 닿지 못한다.

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장미라는 이름을 바꾸어 불러도 향기는 그대로 남는다

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